Subject: Julia sets                              
                                                                              
   Q7a: What is the difference between the Mandelbrot set and a Julia set?    
   A7a: The Mandelbrot set iterates z^2 + c with z starting at 0 and varying  
c. The Julia set iterates z^2 + c for fixed c and varying starting z values.  
That is, the Mandelbrot set is in parameter space (c-plane) while the Julia   
set is in dynamical or variable space (z-plane).                              
                                                                              
   Q7b: What is the connection between the Mandelbrot set and Julia sets?     
   A7b: Each point c in the Mandelbrot set specifies the geometric structure  
of the corresponding Julia set. If c is in the Mandelbrot set, the Julia set  
will be connected. If c is not in the Mandelbrot set, the Julia set will be a 
Cantor dust.                                                                  
                                                                              
   Q7c: How is a Julia set actually computed?                                 
   A7c: The Julia set can be computed by iteration similar to the Mandelbrot  
computation. The only difference is that the c value is fixed and the initial 
z value varies.                                                               
   Alternatively, points on the boundary of the Julia set can be computed     
quickly by using inverse iterations. This technique is particularly useful    
when the Julia set is a Cantor Set. In inverse iteration, the equation z1 =   
z0^2 + c is reversed to give an equation for z0: z0 = ħsqrt( z1 - c). By      
applying this equation repeatedly, the resulting points quickly converge to   
the Julia set boundary. (At each step, either the positive or negative root is
randomly selected.) This is a nonlinear iterated function system.             
                                                                              
   In pseudocode:                                                             
                                                                              
 z = 1 (or any value)                                                         
loop                                                                          
 if (random number < .5) then                                                 
  z = sqrt(z - c)                                                             
 else                                                                         
  z = -sqrt(z - c)                                                            
 endif                                                                        
 plot z                                                                       
end loop                                                                      
                                                                              
   Q7d:  What are some Julia set facts?                                       
   A7d: The Julia set of any rational map of degree greater than one is       
perfect (hence in particular uncountable and nonempty), completely invariant, 
equal to the Julia set of any iterate of the function, and also is the        
boundary of the basin of attraction of every attractor for the map.           
                                                                              
   Julia set references:                                                      
    1. A. F. Beardon, Iteration of Rational Functions : Complex Analytic      
Dynamical Systems, Springer-Verlag, New York, 1991.                           
    2. P. Blanchard, Complex Analytic Dynamics on the Riemann Sphere, Bull. of
the Amer. Math. Soc 11, 1 (July 1984), pp. 85-141.                            
   This article is a detailed discussion of the mathematics of iterated       
complex functions. It covers most things about Julia sets of rational         
polynomial functions.                                                         
                                                                              


HyperText/CGI-HTML, v. 3.6.4 (C)1994-2000 M.Zakharov