| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | Г | а | р | м | о | н | и | я | | х | а | о | с | а | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |
ХИМИЯ И ЖИЗНЬ Э 4'94 | |
Если бы природа не была прекрасной, |
ее не стоило бы познавать. |
|
Анри Пуанкаре |
|
Конечно, можно любоваться этими картинами, и не интересуясь их |
происхождением. Но к восхищению сразу же примешивается удивление, как только |
вы узнаете, что это - различные компьютерные портреты хаоса. Да разве есть |
что-то общее между этими стройными композициями и полной неразберихой, с |
которой мы обычно связываем хаос. Скорее уж мы встречаемся с хаосом в |
творениях абстракционистов... |
А все дело в том, что есть два типа хаоса: стохастический и |
детерминированный, и понимание этого стало одним из серьезных потрясений в |
науке последних десятилетий. С беспорядком, вызванным действием множества |
случайных факторов, связан первый из них, стохастический,- его портреты хорошо |
удаются обезьянам, разбрызгивающим краски на холст. А второй, |
детерминированный, проявляет себя в поведении нелинейных динамических систем, |
которые описываются уравнениями, не содержащими в себе ничего случайного. |
Классическая и квантовая механика, электродинамика основывались на линейных |
дифференциальных уравнениях. Но линейные уравнения - это идеализация, верная |
лишь в определенных пределах. Буквально во всех природных явлениях при |
достижении некоторых пороговых значений описывающих их величин начинает |
сказываться нелинейность. |
Характерное свойство линейных систем - нечувствительность их решений к |
малым изменениям начальных условий (траектории движения системы при этом |
обычно качественно не меняются) . А вот для многих нелинейных систем это уже |
не так - сколько угодно малые неточности в задании начальных условий (а они |
есть всегда) не позволят предсказать ее поведение: исходно близкие траектории |
экспоненциально расходятся, судьба системы становится неопределенной. Области |
предсказуемого поведения могут стать совсем малыми, то есть почти везде оно |
будет переменчивым, непредугадываемым - хаотичным. |
Проблема в том, что аналитически получить общий вид решения нелинейных |
уравнений, как правило, не удается. Поэтому их изучают методом |
вычислительного эксперимента на ЭВМ. При этом решения описывают в понятиях |
аттракторов - притягивающих центров, на которые сходятся целые <бассейны> |
близлежащих траекторий. Аттракторы могут быть крайне сложными - <странными> |
(об этом <химия и жизнь> рассказывала в статье <Постижение хаоса>, 1992, Nо |
8). |
Казалось бы, не удастся выявить какие-то единые принципы устройства этого |
странного нелинейного мира, но математики нашли модель, которая отчасти |
позволила это сделать. <Розеттским камнем> послужила следующая задача о |
движении точки по плоскости: берем простейшую нелинейную - квадратичную - |
зависимость комплексных чисел (они изображаются точками на плоскости или, что |
то же, векторами, исходящими из начала координат), например Zn+1=Zn+C , где С |
- комплексная константа. Это как бы система с обратной связью: полученное на |
n-м шаге значение Z снова подается на вход, вычисляется следующее значение Z и |
так далее. Иначе говоря, прослеживаем траектории движения Zn по плоскости в |
зависимости от начального Z0 и параметра C. |
(Напомню, что при возведении в квадрат комплексного числа длина |
изображающего его вектора возводится в квадрат, а угол между ним и осью |
абсцисс удваивается; прибавление комплексной константы означает просто сдвиг |
на определенный вектор.) |
Задача заключается в предсказании судьбы этих траекторий, то есть в |
нахождении аттракторов и границ соответствующих им бассейнов: одни траектории |
могут устремиться в бесконечность, другие - к началу координат, третьи - еще к |
какой-то точке. Кто бы мог представить, что из этой, доступной пониманию |
школьника задачи, как джинн из бутылки, вырвется хаос. |
Пусть сначала параметр С равен нулю, то есть Zn+1= =Zn. В этом случае есть |
два наглядных аттрактора, на которые в итоге выходит система: начало координат |
(когда Хо лежит внутри круга радиусом единица, и бесконечность - когда Хв вне |
его; значит, граница между ними - единичная окружность). Логично, что если |
ввести ненулевое С, то и сами аттракторы могут измениться (скажем, появятся |
новые), и границы между ними усложнятся. Но поразительно то, насколько |
сложными становятся эти границы! На них возникают фигуры, в уменьшенном |
масштабе повторяющие исходную, на их границе опять, и так до бесконечности; из |
обычных линий границы превращаются в структуры, обладающие свойством |
самоподобия (фрактальностью) и математически характеризуемые дробной |
размерностью. |
Можно сказать, что один большой <конфликт> между аттракторами на |
разделяющей их границе дробится на бесчисленное множество все более мелких, но |
подобных конфликтов (не так ли в отношениях между людьми?). Именно вблизи |
границы поведение нелинейной системы становится непредсказуемым - сколь угодно |
малые неточности в задании начальных условий качественно изменяют его. |
Этой задачей в начале века занимались французские математики Гастон Жулиа и |
Пьер Фату. (Кстати, Жулиа участвовал в первой мировой войне, был тяжело ранен |
в лицо потерял нос, и свою главную работу в этой области он написал в |
госпитале, в перерывах между несколькими операциями.) Они сумели многое |
сделать, но... у них не было компьютеров. |
В 70-х годах к этим вопросам вернулся Бенуа Мандольброт (родился в Польше, |
учился во Франции, работает в США), который воспользовался помощью ЭВМ. |
Главное его достижение - построение необычного множества, получившего его имя |
(наш журнал уже рассказывал о нем см. упомянутую выше статью). Кроме того, он |
сумел осознать, насколько широко распространены самоподобие, фракталы в |
природе. |
После этого вооруженные компьютерами ученые начали массированное |
наступление на проблему, и она поддалась: ЭВМ нарисовала фигуры (они |
изображают аттракторы и их бассейны), являющиеся решениями нашей задачи при |
разных значениях параметра С. Разнообразие форм этих фигур, называемых |
множествами Жулиа,- безгранично. Некоторые из них показаны целиком (рисунки на |
с. 36 - 37), от других мы видим в увеличенном виде отдельные фрагменты (с. 38) |
. При одном бассейны аттракторов связные области (рис. 1 - 3 на с. 37), при |
другом - они распадаются на бесчисленное множество изолированных областей, в |
которых уже нет ни одного целого куска (в этом случае множество называют |
<пылью Фату> - рис. 4), при третьем - становятся разветвленным <дендритом> |
(рис. 5). |
Важно, что такие сложные границы, разделяющие бассейны, встречаются в самых |
разных областях математики. Например, еще Ньютон изобрел метод итераций для |
решения алгебраических уравнений. Он указал формулы, подставляя в которые |
произвольное начальное значение, можно последовательными шагами сколь угодно |
близко приблизиться к одному из решений (каждое уравнение п-степени имеет п |
комплексных корней). Так вот, границы между областями исходных значений, |
приводящих к тому или иному решению, похожи на те, что во множествах Жулиа. |
Но, наверное, самое важное заключается в том, что такие границы появляются |
в реальных природных системах. Скажем, у ферромагнетика есть два аттрактора - |
намагниченное состояние при низких температурах (когда магнитные моменты всех |
атомов в кристалле одинаково направлены) и парамагнитное при высоких (когда их |
распределение случайно). А при температуре фазового перехода (в точке Кюри) |
появляются области порядка и беспорядка, границы между которыми тоже имеют |
такую сложную структуру. Теперь у физиков есть подходящий для их описания |
формальный аппарат. |
Но ведь множества Жулиа отражают математически простейший случай! В более |
сложных системах возникает крайне запутанная картина - области предсказуемого |
поведения становятся все меньше, границы - все сложнее. Начинает править бал |
хаос (например, при турбулентности), но он по-прежнему остается красивым. |
Быть может, гармония представленных на выставке картин объясняется тем, что |
они показали нам свободу, лежащую в основании природных явлений,- <В свободе |
скрыта тайна мира> (Н. А. Бердяев). В линейных динамических системах |
царствовала необходимость - их поведение описывали сухие графики. В |
статистической механике, а затем в квантовой, появилась вероятность (стали |
даже говорить о <свободе воли электрона>). И вот теперь мы узнали, что |
нелинейным системам изначально присуща свобода, хотя никакой случайности в них |
как бы и нет. |
И еще эти картины, наверное, привлекают нас потому, что дают нам |
возможность почувствовать таинственность мира. Так оно, видимо, и должно быть. |
Тот же философ писал: <Снимает ли познание тайну, уничтожает ли ее? Я не |
думаю. Тайна всегда остается, она лишь углубляется от познания. Познание |
уничтожает лжетайны, вызванные незнанием>. |
Что истина и красота связаны между собой в этом большинство ученых и не |
сомневалось (многие из них говорили об эстетическом критерии правильное |
решение обычно красиво). Выставка <Красота в хаосе> в Политехническом музее, |
на которой было представлено более 90 работ, сделанных в Бременском |
университете, позволила еще раз в этом убедиться. |
Спасибо бременским ученым, спасибо Немецкому культурному центру им. Гете в |
Москве - устроителю выставки, спасибо компьютерам. |
|
Л. КАХОВСКИЙ |
|
Syndicat BBS |
|