Гармония хаоса                                
ХИМИЯ И ЖИЗНЬ Э 4'94                                                          
                                        Если бы природа не была прекрасной,   
                                        ее не стоило бы познавать.            
                                                                              
                                                                Анри Пуанкаре 
                                                                              
   Конечно, можно любоваться этими картинами, и не интересуясь их             
происхождением. Но к восхищению сразу же примешивается удивление, как только  
вы узнаете, что это - различные компьютерные портреты хаоса. Да разве есть    
что-то общее между этими стройными композициями и полной неразберихой, с      
которой мы обычно связываем хаос. Скорее уж мы встречаемся с хаосом в         
творениях абстракционистов...                                                 
   А все дело в том, что есть два типа хаоса:  стохастический и               
детерминированный, и понимание этого стало одним из серьезных потрясений в    
науке последних десятилетий.  С беспорядком, вызванным действием множества    
случайных факторов, связан первый из них, стохастический,- его портреты хорошо
удаются обезьянам, разбрызгивающим краски на холст.  А второй,                
детерминированный, проявляет себя в поведении нелинейных динамических систем, 
которые описываются уравнениями, не содержащими в себе ничего случайного.     
   Классическая и квантовая механика, электродинамика основывались на линейных
дифференциальных уравнениях.  Но линейные уравнения - это идеализация, верная 
лишь в определенных пределах.  Буквально во всех природных явлениях при       
достижении некоторых пороговых значений описывающих их величин начинает       
сказываться нелинейность.                                                     
   Характерное свойство линейных систем - нечувствительность их решений к     
малым изменениям начальных условий (траектории движения системы при этом      
обычно качественно не меняются) . А вот для многих нелинейных систем это уже  
не так - сколько угодно малые неточности в задании начальных условий (а они   
есть всегда) не позволят предсказать ее поведение: исходно близкие траектории 
экспоненциально расходятся, судьба системы становится неопределенной. Области 
предсказуемого поведения могут стать совсем малыми, то есть почти везде оно   
будет переменчивым, непредугадываемым - хаотичным.                            
   Проблема в том, что аналитически получить общий вид решения нелинейных     
уравнений, как правило, не удается.  Поэтому их изучают методом               
вычислительного эксперимента на ЭВМ.  При этом решения описывают в понятиях   
аттракторов - притягивающих центров, на которые сходятся целые <бассейны>     
близлежащих траекторий.  Аттракторы могут быть крайне сложными - <странными>  
(об этом <химия и жизнь> рассказывала в статье <Постижение хаоса>, 1992, Nо   
8).                                                                           
   Казалось бы, не удастся выявить какие-то единые принципы устройства этого  
странного нелинейного мира, но математики нашли модель, которая отчасти       
позволила это сделать.  <Розеттским камнем> послужила следующая задача о      
движении точки по плоскости:  берем простейшую нелинейную - квадратичную -    
зависимость комплексных чисел (они изображаются точками на плоскости или, что 
то же, векторами, исходящими из начала координат), например Zn+1=Zn+C , где С 
- комплексная константа.  Это как бы система с обратной связью:  полученное на
n-м шаге значение Z снова подается на вход, вычисляется следующее значение Z и
так далее. Иначе говоря, прослеживаем траектории движения Zn по плоскости в   
зависимости от начального Z0 и параметра C.                                   
   (Напомню, что при возведении в квадрат комплексного числа длина            
изображающего его вектора возводится в квадрат, а угол между ним и осью       
абсцисс удваивается; прибавление комплексной константы означает просто сдвиг  
на определенный вектор.)                                                      
   Задача заключается в предсказании судьбы этих траекторий, то есть в        
нахождении аттракторов и границ соответствующих им бассейнов:  одни траектории
могут устремиться в бесконечность, другие - к началу координат, третьи - еще к
какой-то точке.  Кто бы мог представить, что из этой, доступной пониманию     
школьника задачи, как джинн из бутылки, вырвется хаос.                        
   Пусть сначала параметр С равен нулю, то есть Zn+1= =Zn.  В этом случае есть
два наглядных аттрактора, на которые в итоге выходит система: начало координат
(когда Хо лежит внутри круга радиусом единица, и бесконечность - когда Хв вне 
его; значит, граница между ними - единичная окружность).  Логично, что если   
ввести ненулевое С, то и сами аттракторы могут измениться (скажем, появятся   
новые), и границы между ними усложнятся. Но поразительно то, насколько        
сложными становятся эти границы! На них возникают фигуры, в уменьшенном       
масштабе повторяющие исходную, на их границе опять, и так до бесконечности; из
обычных линий границы превращаются в структуры, обладающие свойством          
самоподобия (фрактальностью) и математически характеризуемые дробной          
размерностью.                                                                 
   Можно сказать, что один большой <конфликт> между аттракторами на           
разделяющей их границе дробится на бесчисленное множество все более мелких, но
подобных конфликтов (не так ли в отношениях между людьми?). Именно вблизи     
границы поведение нелинейной системы становится непредсказуемым - сколь угодно
малые неточности в задании начальных условий качественно изменяют его.        
   Этой задачей в начале века занимались французские математики Гастон Жулиа и
Пьер Фату. (Кстати, Жулиа участвовал в первой мировой войне, был тяжело ранен 
в лицо потерял нос, и свою главную работу в этой области он написал в         
госпитале, в перерывах между несколькими операциями.) Они сумели многое       
сделать, но...  у них не было компьютеров.                                    
   В 70-х годах к этим вопросам вернулся Бенуа Мандольброт (родился в Польше, 
учился во Франции, работает в США), который воспользовался помощью ЭВМ.       
Главное его достижение - построение необычного множества, получившего его имя 
(наш журнал уже рассказывал о нем см. упомянутую выше статью). Кроме того, он 
сумел осознать, насколько широко распространены самоподобие, фракталы в       
природе.                                                                      
   После этого вооруженные компьютерами ученые начали массированное           
наступление на проблему, и она поддалась: ЭВМ нарисовала фигуры (они          
изображают аттракторы и их бассейны), являющиеся решениями нашей задачи при   
разных значениях параметра С. Разнообразие форм этих фигур, называемых        
множествами Жулиа,- безгранично. Некоторые из них показаны целиком (рисунки на
с. 36 - 37), от других мы видим в увеличенном виде отдельные фрагменты (с. 38)
. При одном бассейны аттракторов связные области (рис. 1 - 3 на с. 37), при   
другом - они распадаются на бесчисленное множество изолированных областей, в  
которых уже нет ни одного целого куска (в этом случае множество называют      
<пылью Фату> - рис. 4), при третьем - становятся разветвленным <дендритом>    
(рис. 5).                                                                     
   Важно, что такие сложные границы, разделяющие бассейны, встречаются в самых
разных областях математики. Например, еще Ньютон изобрел метод итераций для   
решения алгебраических уравнений. Он указал формулы, подставляя в которые     
произвольное начальное значение, можно последовательными шагами сколь угодно  
близко приблизиться к одному из решений (каждое уравнение п-степени имеет п   
комплексных корней). Так вот, границы между областями исходных значений,      
приводящих к тому или иному решению, похожи на те, что во множествах Жулиа.   
   Но, наверное, самое важное заключается в том, что такие границы появляются 
в реальных природных системах. Скажем, у ферромагнетика есть два аттрактора - 
намагниченное состояние при низких температурах (когда магнитные моменты всех 
атомов в кристалле одинаково направлены) и парамагнитное при высоких (когда их
распределение случайно).  А при температуре фазового перехода (в точке Кюри)  
появляются области порядка и беспорядка, границы между которыми тоже имеют    
такую сложную структуру.  Теперь у физиков есть подходящий для их описания    
формальный аппарат.                                                           
   Но ведь множества Жулиа отражают математически простейший случай! В более  
сложных системах возникает крайне запутанная картина - области предсказуемого 
поведения становятся все меньше, границы - все сложнее. Начинает править бал  
хаос (например, при турбулентности), но он по-прежнему остается красивым.     
   Быть может, гармония представленных на выставке картин объясняется тем, что
они показали нам свободу, лежащую в основании природных явлений,- <В свободе  
скрыта тайна мира> (Н. А. Бердяев). В линейных динамических системах          
царствовала необходимость - их поведение описывали сухие графики. В           
статистической механике, а затем в квантовой, появилась вероятность (стали    
даже говорить о <свободе воли электрона>). И вот теперь мы узнали, что        
нелинейным системам изначально присуща свобода, хотя никакой случайности в них
как бы и нет.                                                                 
   И еще эти картины, наверное, привлекают нас потому, что дают нам           
возможность почувствовать таинственность мира. Так оно, видимо, и должно быть.
 Тот же философ писал:  <Снимает ли познание тайну, уничтожает ли ее? Я не    
думаю. Тайна всегда остается, она лишь углубляется от познания. Познание      
уничтожает лжетайны, вызванные незнанием>.                                    
   Что истина и красота связаны между собой в этом большинство ученых и не    
сомневалось (многие из них говорили об эстетическом критерии правильное       
решение обычно красиво).  Выставка <Красота в хаосе> в Политехническом музее, 
на которой было представлено более 90 работ, сделанных в Бременском           
университете, позволила еще раз в этом убедиться.                             
   Спасибо бременским ученым, спасибо Немецкому культурному центру им. Гете в 
Москве - устроителю выставки, спасибо компьютерам.                            
                                                                              
Л. КАХОВСКИЙ                                                                  
                                                                              
Syndicat BBS                                                                  
                                                                              


HyperText/CGI-HTML, v. 3.6.4 (C)1994-2000 M.Zakharov