| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | М | н | о | ж | е | с | т | в | а | | Ж | ю | л | и | а | | и | | м | н | о | ж | е | с | т | в | о | | М | а | н | д | е | л | ь | б | р | о | т | а | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |
| Адриен Дуади | |
| |
| Множества Жюлиа квадратичных отображений и множество Мандельброта |
| появляются в ситуации, которая с математической точки зрения исключительно |
| проста, - из последовательностей комплексных чисел, определяемых по индукции с |
| помощью соотношения: |
| Z(n+1) = Z(n)^2 + c, |
| где c - это комплексная постоянная. |
| Поведение вышеупомянутой последовательности чисел зависит от параметра c и |
| начальной точки Z(0). Если зафиксировать c и изменять Z(0) в поле комплексных |
| чисел, то мы получим множество Жюлия, а если зафиксировать Z(0) = 0 и изменять |
| параметр c, то получим множество Мандельброта. Если взять Z(0) далеко от нуля, |
| то последовательность будет быстро стремится к бесконечности. Это, конечно, |
| верно также и тогда, когда точка Z(n) для некоторого n находится далеко от |
| нуля. Но существует и такие значения Z(0), для которых последовательность |
| (Z(n)) никогда не уходит далеко, а всегда остается ограниченной. При заданном |
| c эти значения образуют | наполненное множество Жюлия | Kc для полинома |
| Fc:Z->Z^2+c. Настоящее же | множество Жюлиа | состоит из граничных точек Kc. |
| Вполне естественно, что вид множества Жюлиа зависит от выбора параметра c, |
| но удивляет то, насколько эта зависимость сильна. И, меняя c, можно получить |
| невероятное разнообразие множеств Жюлиа: одни из них похожи на большие |
| "толстые" тучи, другие напоминают редкие кусты ежевики, третьи выглядят как |
| искры, летящие в небе во время фейерверка. |
| Есть два основных типа множества Жюлия: некоторые из них являются цельными |
| (мы говорим связными), а другие представляют собой облака из точек (мы |
| называем их Канторовыми множествами). Для математика появляется хорошая |
| возможность ввести новое множество - множество значений c, для которых Kc |
| связно. Я назвал его | множеством Мандельброта | , так как Бенуа Мандельброт был |
| первым кто получил его изображение с помощью компьютера и положил начало его |
| изучению. |
| Множества Жюлиа принадлежат к числу наиболее интересных фракталов. |
| Большинство из них | самоподобно | . Взглянув на границу какого-либо множества Kc в |
| микроскоп, мы увидим картину, которая, во-первых, мало зависит от того, в |
| каком месте мы смотрим, а, во-вторых. ничем существенно не отличается от той, |
| которую мы видели и без микроскопа. В то же время множество Мандельброта М не |
| обладает свойством самоподобия: да, М действительно содержит бесконечное число |
| малых копий самого себя, и, следовательно, в каком бы месте мы ни взглянули на |
| границу М в микроскоп, мы увидим некоторые из малых копий М. Но эти копии |
| вплетены в сеть нитей, вид которой очень сильно зависит от того, в какой точке |
| смотреть. Более того, если рассматривать две копии сравнимого размера, то |
| отношение расстояния между ними к их размеру будет сильно зависеть не только |
| от точки, в которой мы наблюдаем, но и от увеличения микроскопа. |
| |